[물리전자] 1-2. Unit Cell과 Lattice

 지난 포스팅에서는 고체의 분류와 결정 구조에 대해서 알아보았습니다. 해당 내용은 다음 링크 참조 바랍니다.

[반도체 공학] 1-1. 고체의 분류와 결정구조

 이번 포스티에서는 고체의 결정구조를 좀 더 작은 스케일에서 다루어보고자 합니다. 

Unit Cell

 Single Crystal(Crystaline Structure)은 원자가 주기적으로 배열되어 있는 구조입니다. 반도체의 성질을 공부할 때 Crystaline 구조는 중요한 구조이기 때문에 Crystaline 구조만 좀 더 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

 

 Crystaline 구조를 확대하여 그려보았습니다. 실제로 원자는 3차원적으로 배열이 되어 있지만 우리는 이해를 쉽게 하기 위해 2차원적으로 먼저 설명하겠습니다. 

 이 때, 규칙적인 구조의 단위를 Unit Cell이라고 합니다. 그렇기 때문에 Crystaline 구조에서 Unit Cell의 크기는 설정하는 사람에 따라 천차만별이 될 수 있습니다.

 그래서 같은 구조에서 모두가 동일한 unit cell을 지칭할 수 있도록 만든 개념이 Primitive Unit Cell입니다. Primitive Unit Cell은 해당 구조에서 가장 작은 Unit Cell를 뜻하는데 가장 작은 Unit Cell이니까 단 하나만 존재할 수 있습니다. Unit Cell은 반복되는 Cell 구조를 의미하기 때문에 원자의 구조가 변하면 Unit Cell 또한 변합니다. 그래서 학자들이 원자의 구조에 따라 바로바로 가져다 사용할 수 있도록 여러가지 Unit Cell을 유형화 시켜놓았습니다.

 Lattice란 이런 Unit Cell들이 반복되어 이루는 구조를 말합니다. 즉 Lattice란 원자의 주기적인 배열 자체를 의미하는 것이죠. 2차원 그림으로 이해를 했으니 이제 3차원 구조를 살펴봅시다.

Bravais lattice

 Bravais lattice는 Bravais라는 사람이 지구 상에 알려진 Lattice들을 조사하여 14가지로 유형화한 것을 말합니다. 각 Lattice를 구성하는 Unit Cell을 그려보면 다음과 같이 총 14가지 유형이 나타나게 됩니다.

 

 이 14가지의 lattice 중 우리가 주의깊게 살펴볼 구조는 Simple Cubic(SC), Body Centered Cubic(BCC), Face Centered Cubin(FCC) 이렇게 단 3가지 입니다. 물질에 따라 그 물질이 이루고 있는 Lattice는 모두 다릅니다. Si와 ZnO 등 여러가지 반도체 물질을 앞에서 확인했는데, 모든 반도체가 이루는 Lattice가 다르다는 겁니다. 하지만 전체적인 구조로 봤을 때 반도체 물질은 모두 Cubic 구조로 되어있기 때문에 저희는 SC, FCC, BCC에 대해서만 살펴봅시다.

 

Cubic

 Cubic 구조란 각 변의 방향을 X축, Y축, Z축으로 설정했을 때 축끼리 이루는 각도가 직각이고, 모든 변의 크기가 같은 것을 의미합니다. 즉, 정육면체 구조를 의미합니다. Cubic 구조에는 Simple Cubic, Face Centered Cubic, Body Centered Cubic이 있습니다. 한가지씩 살펴봅시다.

 

Simple Cubic(SC)

 Simple Cubic(SC) 구조는 한변의 길이가 a인 정육면체의 각 꼭지점에 Atom이 놓인 구조를 의미합니다.

FCC의 경우 각 모서리에 원자가 $1 \over 8$개씩 8개 포함되어 있기 때문에 총 1개의 원자가 격자내에 존재하게 됩니다. 

 

Body Centered Cubic(BCC)

 Body Centered Cubic(BCC) 구조는 simple cubic(SC) 구조의 정중앙에 Atom 한개가 더 들어간 구조입니다. Simple Cubic이 두 개 겹쳐진 구조라고도 생각할 수 있습니다. 둘 중 하나의 Simple Cubic을 X축, Y축, Z축 방향으로 ${1 \over 4| a$만큼 이동시킨 것이 BCC가 되는 것이죠.

 BCC의 경우 각 모서리에 원자가 $1 \over 8$개씩 8개, 중앙에 원자가 1개 포함되어 있기 때문에 총 2개의 원자가 격자내에 존재하게 됩니다. 

Face Centered Cubic(FCC)

 Face Centered Cubic(FCC) 구조는 Simple Cubic 구조에서 각 면의 중앙에 Atom이 한개가 들어간 구조입니다.

FCC의 경우 각 모서리에 원자가 $1 \over 8$개씩 8개, 각 면에 원자가 $1 \over 2$ 씩 6개 포함되어 있기 때문에 총 4개의 원자가 격자내에 존재하게 됩니다. 

 

반도체의 Lattice Structure

 우리가 이제부터 배울 Si, Ge, GaAs 등 모든 Semiconductor는 모두 Diamond 구조로 되어있습니다.

Diamond lattice 

 Diamond lattice는 FCC 2개가 대각선 방향으로 대각선 길이의 1/4 간격으로 서로 교차한 구조입니다. FCC와 비교했을 때 내부에 4개의 원자가 추가됩니다. 

 오른쪽 그림에서 파란색 원자와 초록색 원자가 이루는 모양을 한번 유심히 보게 되면 모서리에 있는 원자와 그에 인접한 면의 중앙에 위치한 원자 3개가 정사면체 형태로 배열되어 있고 정사면체의 중심에 초록색 원자가 배열되어 있다는 것을 알 수 있습니다. 이것 때문에 FCC가 두개 겹쳐진 형태의 Lattice를 Diamond Lattice라고 합니다. 실제로 다이아 몬드의 원자 배열 구조를 보게 되면 다음과 같이 정사면체 구조를 이루고 있음을 알 수 있습니다.

 대표적인 반도체인 Si 원자와 Ge 원자가 이러한 모양의 lattice를 이루며 존재합니다. Si, Ge 등 Elemental Semiconductor가 Diamond Lattice로 존재하게 됩니다.

Zinc Blend Structure

 Zinc Blend Structure는 구조 자체는 Diamond lattice와 같으나 구성원자가 다른 두개의 FCC가 교차한 구조입니다. 즉 GaAs, Al$_x$Ga$_{1-x}$As 등 두 가지 이상의 원소가 조합되어 만들어지는 화합물 반도체는 Zinc Blend Structure로 존재하게 됩니다.

 

 

Miller Index

 위의 격자 구조를 정리하고 나니 또 다른 문제가 발생합니다. 같은 말로 설명하더라도 각자 보고있는 방향에 따라서 다른 면을 지칭하게 되는 문제입니다. 이것이 왜 중요할까요?

 예를 하나 들어보겠습니다. 다음에 배우겠지만 간단하게 설명하자면 Silicon을 Single Crystal 상태로 키워내면 원기둥 형태로 올라오게 됩니다. 이것을 이제 얇게 잘라내면 Wafer가 되는 것이죠. 이 위에 회로 패턴을 새겨서 소자를 만들 수가 있게 됩니다. 근데 이렇게 잘라내면 Wafer 평면에 원자들이 배열되어 있을 것입니다. 그런데 같은 FCC 구조여도 잘라내는 면에 따라 원자의 밀도가 달라질 것입니다. 

 즉, 원기둥에서 밑면에 평행한 방향으로 Wafer를 잘라내게 되는데 이 때 Single Crystal을 어떤 방향으로 성장을 시켜주느냐에 따라 Wafer의 표면이 달라지게 됩니다. 이로 인해 Wafer 위에 만들어 준 소자의 특성이 달라지게 됩니다. 따라서 Wafer 표면 상태가 굉장히 중요해지고 이를 표현하기 위해 Single Crystal의 면에 이름을 붙이는 것의 필요성을 느끼게 된 것입니다. 

 이 때 사용할 수 있도록 만들어진 것이 바로 Miler Index입니다. Miller Index는 격자 구조 내에서 특정 면을 지칭하기 위해 만들어진 표현방법입니다. Miller Index를 사용하게 되면 다음과 같이 격자 내 평면을 손쉽게 지칭할 수 있게 됩니다.

 

Miller Index를 구하는 방법

 

 Mileer Index를 구하는 방법은 다음과 같습니다.

 

1. 표현하고자 하는 평면이 각각의 좌표축과 만나는 점을 찾는다.

2. 평면과 좌표축의 교점이 Unit Cell 길이의 몇배인지 기록한 후 역수를 취한다.

3. 최소 공배수를 곱한다.

4. 마이너스 부호가 있다면 숫자위에 bar를 씌운다.

5. 콤마(,)를 지운 후 평면을 지칭하고 싶다면 ()를 평면과 수직인 방향을 지칭하고 싶다면 []를 붙인다.

 

 

 이것을 사용해서 간단하게 몇가지 평면에 대해서 구해보겠습니다.

먼저 Cubic 구조에서 xy 평면에 존재하는 밑면에 대한 Miller Index를 구해봅시다. Miller Index를 구하기 위해 각 축과 만나는 점을 보려고 하니 x축과 y축의 모든 점과 만나게 됩니다. 그래서 면을 평행이동 시키는 약간의 테크닉을 적용해 주어야 합니다. 격자라는 것이 주기적인 배열이기 때문에 Unit Cell의 길이만큼 평행이동 시키면 같은 면이라고 할 수 있겠죠. 그래서 윗면과 밑면의 Miller Index가 같아지게 됩니다. 따라서 윗면의 Miller Index를 구하기 위해 각 축과 접하는 점을 구해보면 $( \infinite \infinite 1)$ 인 것을 알 수 있습니다. 이것을 역수를 취해주면 (001)이 되네요. 즉 밑면과 윗면의 Miller Index는 (001)이 됩니다.

 

 하지만 Miller Index를 구하다보면 축을 어떻게 잡느냐에 따라서 (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)과 같이 같은 평면인데 여러개의 이름을 가질수가 있습니다. 이 때 이것들을 묶어서 Family라고 표현합니다. 기호로는 {}를 사용합니다.

 ex) {1 0 0} : (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)

 

 이렇게 Miller Index는 매우 많이 존재하지만 Family를 고려해주면 면의 개수가 더욱 줄어들게 됩니다. 하지만 반도체에서 사용하는 Family의 종류는 {1 0 0}, {1 1 0}, {1 1 1} 세가지 뿐입니다. 다른 것도 물론 존재하지만 사용하지 않습니다. 그래서 Wafer가 있다고 하면 잘린 면의 종류에 따라 총 3가지로 분류할 수 있습니다. 

 각 Wafer 종류 별로 표면의 원자 밀도가 어떻게 변하는지 알아봅시다.

이렇게 표면 밀도가 달라지니 밖에서 이온이 들어갈 때 침투 능력이 달라지게 됩니다. 나중에 반도체를 만들 때 도핑을 시키는데 이 도핑 속도가 표면 밀도에 따라 달라지게 되어 반도체의 특성이 변하게 됩니다.

두 평면 사이의 거리와 각도

 Lattice Constant는 격자점과 격자점 사이의 거리를 의미합니다. Lattice Constant에 대해 후에 자세히 설명하겠지만 간단하게 언급하고 넘어가자면 Lattice Constant에 따라 Semiconductor를 붙일 때 접합 결함 여부가 결정되기 때문에 매우 중요한 변수입니다. 이것과 Miller Index를 이용하여 두 평면 사이의 거리와 각도를 계산할 수 있습니다. 수식은 다음과 같습니다. 

 

Lattice Constant가 a인 인접한 두 (h k l) 평면 사이의 거리 d

 

$$ d = { a \over \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} $$

 

 

(h$_1$ k$_1$ l$_1$) 평면과 (h$_2$ k$_2$ l$_2$) 평면 사이의 각도 $cos\theta$

 

$$ cos \theta = {{{h_1}{h_2} + {k_1}{k_2} + {l_1}{l_2}} \over {{[(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)]}^{ 1\over 2}}} $$

 

 에시로 (1 0 0), (1 1 0), (1 1 1) 평면의 평면 사이의 거리를 구해보면 (1 0 0) Plane의 경우 d = a, (1 1 0) Plane의 경우 d = 0.707a, (1 1 1) Plane의 경우 d = 0.577a 가 됩니다. 이 결과를 통해 (1 1 1) Plane으로 반도체를 잘랐을 떄 Atom이 가장 촘촘하게 박혀있을 것이라고 예측할 수 있습니다. 이게 왜 중요하냐면 나중에 Implantation을 통해 불순물을 주입할 때 어느 방향으로 주입하느냐에 따라 Atom의 조밀도가 다르기 때문에 불순물이 들어갈 수 있는 깊이가 달라지겠죠.

 이와 같이 평면사이의 거리와 각도를 고려하여 가장 좋은 성능을 낼 수 있도록 Semiconductor를 잘라내면 반도체 소자의 성능 향상을 이루어 낼 수 있습니다.