[물리전자] 2-1. 양자역학 개념의 도입

 이번 시간부터 양자역학에 대해 공부를 시작하겠습니다. 우리는 물리학에서 배우는 양자역학을 지금 이 반도체 공학에서 필요한 만큼만 다루고자 합니다. 저희가 앞으로 반도체 공학에서 공부하게 될 것 중 하나가 Si 원자 내 전자의 움직임입니다. 하지만 전자의 움직임을 눈으로 확인할 수는 없습니다. 따라서 전자가 이동할 때 발생하는 현상인 전류를 측정함으로써 전자의 이동을 알아내야 합니다. 

 이렇게 알아낸 전류 정보를 이용해 이후 Diode나 MOSFET, BJT 등 반도체 소자의 동작 원리를 이해하고 더 나아가 Solar Cell, LED, Laser의 동작원리를 이해할 수 있습니다.

 

 그런데, 전류값을 이용해 전자의 움직임을 살펴보려고 하다보니 우리가 평소에 사용하던 고전역학으로는 전자의 움직임을 설명할 수 없었습니다. 행성의 움직임이라던지, 야구공을 던졌을 때 날아가는 궤적 등 거시세계에서 물체의 움직임은 뉴턴의 법칙을 모두 만족을 합니다. 하지만 Si 내의 전자 등 미시세계에서 물체의 움직임은 뉴턴의 법칙을 만족하지 않는다는 것을 확인한 것이죠. 그래서 이런 문제를 해결하고자 만들어낸 이론이 양자역학입니다. 전자의 움직임에 고전역학 대신 양자역학을 도입하니 전자와 같이 아주 작은 입자들의 움직임들이 설명이 가능해진 것입니다. 즉, 전자의 움직임을 이해하려면 양자역학을 이해해야 합니다. 따라서 필요한 만큼의 양자역학을 다루고 넘어가도록 합시다.

 

 뉴턴의 고전역학에는 뉴턴의 제 1법칙, 제 2법칙, 제 3법칙이 있는 것처럼 양자역학에도 적용되는 법칙이 3가지 정도 있습니다. 

 

1. 에너지의 양자화

2. 입자와 파동의 이중성

3. Heigenberg의 불확실성 원리

 

 이번 포스팅에서는 이 3가지에 대해 살펴보도록 합시다.

Energy의 양자화

 먼저 Energy의 양자화에 대해 봅시다. 양자화란 연속적이지 않은 것을 의미합니다. 예를들어 Digital하고 Analog를 비교해보면, Digital은 불연속적으로 0또는 1로 값이 변하는데 Analog는 값이 연속적으로 변합니다. 즉 Digital은 0과 1이라는 값은 존재하지만 그 사이의 값은 존재하지 않는 것입니다. 이렇게 Digital처럼 특정 값만 존재하고 그 사이는 존재하지 않는 그런 것을 양자화되었다라고 표현합니다. 그래서 에너지가 양자화되었다고 하면, 1J에 해당하는 Energy Level은 존재하는데 여기서 약간 커진 1.0001J에 대한 Energy Level은 존재하지 않는다는 것입니다. 

 

 이런 현상이 발생하는 이유는 Photon 때문입니다. 빛을 입자적인 측면에서 표현했을 때 빛 입자 1개를 Photon이라고 하는데요. Photon 입자 1개가 가지고 있는 에너지는 존재하지만, Photon입자 1.5개가 갖고 있는 에너지는 존재하지 않기 때문입니다. Photon과 마찬가지로 다른 입자들도 1개, 2개, 3개 이렇게 갯수로 따지는 거기 때문에 양자화된다라고 볼 수 있는 것입니다. 

 

 여기서 Photon, 즉 광이 가지는 특성이 두가지가 있습니다. 색과 밝기입니다. 빛의 밝기라는 것은 Photon의 개수가 많냐 적냐에 따라 결정되는 값입니다. Photon이 많으면 밝고, 적으면 어두워지는 것이죠. 반면 색깔은 Photon 1개가 갖는 에너지에 따라 결정되는 값입니다. Photon이 갖고있는 에너지가 높으면 자외선 쪽으로 가고, 낮으면 적외선 쪽으로 가는 것이죠. 하지만 아까도 언급했듯이 Photon 2개가 있을 때 각각의 Photon이 갖는 에너지가 합쳐진 에너지 준위는 만들어질 수 없습니다. 이러한 현상을 관찰할 수 있는 실험이 2가지가 있습니다. 바로 Photoelectric Effect와 Hydrogen Emission Spectrum입니다.

Photoelectic Effect

 Photoelectric Effect는 금속에 빛을 입사시킬 때 발견되는 현상입니다. 빛은 파동의 성질과 입자의 성질 모두 가지고 있으며 일반적으로 빛을 입자적인 측면에서 설명할 때 Photon이라고 칭합니다. 이 때 Photon이 갖는 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있어요.

 

 먼저, 금속에 가변접압을 연결하고, 금속의 반대편에는 금속과 반대 전압을 연결해줍니다. 그리고 회로에 전류계를 연결해주게 되면 금속에서 전자가 튀어나오는지 아닌지를 회로에 흐르는 전류의 양을 통해 알 수 있습니다.  그래서 이 메탈에다가 hv라는 에너지를 가합니다. 에너지 E는 photon이 갖고있는 에너지가 hv고 v는 주파수입니다. 그러니까 빨간색을 가리키는 주파수가 있을 거고 파란색을 가리키는 주파수가 있습니다. 색깔마다 주파수가 달라요. 그러니까 하이프리퀀시로 올라갈수록 파란색 자외선 쪽으로 가는거고, 로우 프리퀀시는 적외선쪽으로 가는 것이 로우 프리퀀시에요. 프리퀀시가 크면 클수록 거기에 플랑크 상수 h를 곱하게 되면 그 포톤이 갖고 있는 토탈 에너지가 되요. 포톤이 갖고 있는 에너지는 hv. 그래서 여기다 hv라는 에너지를 공급하면 메탈속에 들어있는 전자가 튀어나옵니다. 튀어나와서 초기 갖고 있던 어떤 속도 v0라는 속도로 튀어나옵니다.

 

$$ E = h\nu = {\lambda \over hc} (h : 플랑크 상수, \nu : 빛의 주피수)$$

 

 이런 에너지를 갖는 Photon을 금속에 쏘아주게 되면 Photon이 Metal에 에너지를 전달하며 Metal 원자가 최외각에 있는 전자를 방출하는 현상이 생깁니다. 이것이 바로 Photoelectric Effect입니다. 

 그렇다면 Photoelectric Effect가 왜 일어나는지에 대해서 알아봅시다. 먼저 금속 결합에 대해 이해해야 합니다. 금속 결합이란 금속끼리 최외각 전자를 함께 공유하면서 결합하는 것을 말합니다.

 

 위 그림과 같이 금속이 있고, 금속 주변의 에너지 레벨을 전자가 돌고 있습니다. 금속이기 때문에 최외각 전자가 1개 ~ 3개일 것입니다. 이러한 금속들이 여러 개가 모이게 되면 금속끼리 금속결합을 하게 됩니다. 즉 최외각전자를 모두 공유하는 상태가 됩니다. 

 

 이렇게 금속 결합을 하게 되면 이미 결합을 하고 있기 때문에 전자가 잘 튀어나오질 못합니다. 또한 원자핵은 (+) Charge, 전자는 (-) Charge를 띄기 때문에 원자핵과 전자사이에 Coulombic Force가 존재하게 됩니다. 그렇기 때문에 Coulombic Force와 결합에너지의 합보다 큰 에너지를 가해주어야 전자가 금속으로부터 튀어나올 수가 있는 것입니다. 이렇게 전자가 튀어나오기 위해 필요한 최소한의 에너지를 Work Function이라고 합니다.

 

 그렇다면 Work Function보다 작은 에너지를 가해주면 어떻게 될까요? 전자가 Work Function보다 작은 에너지를 받게 되면 에너지를 받은 만큼 에너지 궤도를 이동합니다. 하지만 원자핵의 영향을 받는 부분을 벗어나지 못했기 때문에 다시 원래 제자리로 돌아가게 됩니다. 따라서 Work Function보다 작은 에너지를 가해주게 되면 전자가 튀어나오지 않습니다.

 

반대로 Work Function보다 큰 에너지를 가하게 되면 전자는 이미 원자핵의 영향을 받는 부분에서 벗어났기 때문에 원래 에너지에서 Work Function을 뺀 나머지 에너지는 온전히 전자에게 전달이 됩니다. 따라서 전자가 갖는 운동에너지가 커지기 때문에 전자의 이동속도가 빨라지게 됩니다.  이것을 수식으로 정리하게 되면 다음과 같습니다.

 

$$ {1\over2}mv_0 = h\nu - q\Phi_m $$

 

 하지만 우리는 금속에서 전자가 방출되는 것을 눈으로 확인할 수가 없습니다. 그래서 이를 감지하기 위해 전자가 이동할 때 발생하는 전류를 이용해야합니다. 따라서 다음과 같은 회로를 구성해야 합니다.

 

 이 때 금속과 금속의 반대편에 있는 판은 각각 반대 전압에 연결해주어야 하고, 회로에 전류계를 연결하여 전류의 세기를 측정할 수 있게 해주어야 합니다. 전류를 측정할 수 있어야 전자의 방출 여부를 관찰할 수 있기 때문입니다.

 그리고 금속과 그 반대편에 있는 판의 사이는 진공을 만들어 주어야 해요. 진공을 만드는 이유는 전자가 튀어나왔을 때 다른 입자와 충돌하는 것을 방지하기 위함입니다. 

 

 이렇게 회로를 만들었다면, 금속에 $h\nu$라는 광에너지를 공급합니다. 빛을 쪼이게 되면 그 안의 수많은 Photon들이 금속에 가서 부딪히게 되고 광자가 가진 에너지를 전자에게 전달합니다. 그렇게 되면 에너지를 충분히 전달받은 전자는 튀어나오게 되겠죠. 실제로는 전자가 무작위적인 방향으로 이동하겠지만 저희는 x축 방향으로만 간다고 생각하겠습니다. 

 

 이렇게 전자가 튀어나와서 x축 방향으로 이동하다보면 반대쪽에 닿으면서 회로에 전류가 흐르게 됩니다. 여기서 끝나는 것이 아니라 Metal에 입사시키는 빛의 파장을 바꾸어 주며 실험을 했더니 다음과 같은 결과를 얻을 수가 있었습니다.

 

1. 방출되는 전자의 에너지는 입사시킨 빛의 진동수에 비례한다.

2. 특정 진동수보다 낮은 진동수를 갖는 빛을 입사하면 전자가 전혀 나오지 않는다.(= 문턱 진동수가 존재한다.)

 

 이후, 진동수와 전자의 에너지를 Plot해보니 항상 같은 기울기가 나온다는 것을 알게 되었습니다. 그 때의 기울기를 플랑크 상수 h라고 정의하게 된 것이죠. 

 

 고전역학에서 우리가 배워온 개념에 따르면 빛을 쪼였을 때 빛이 입자적인 성질을 갖는다면 Photon이 빛이 최외각 전자를 때려서 전자를 방출시켰기 때문에 입사시킨 빛의 진동수에 관계없이 에너지를 계속 방출을 해야합니다. 즉, 문턱 진동수가 존재하면 안된다는 것이죠. 하지만 실험을 해보았을 때 빛의 진동수에 임계값이 존재하여 임계 진동수보다 낮아지면 금속에서 전자를 방출하지 못한다는걸 관찰을 했습니다. 이러한 광전효과로부터 우리는 에너지의 양자화를 이해할 수 있습니다.

Hydrogen Emision Spectrum

 

 당시에 수소원자의 중요한 성질을 발견해낸 실험이 한가지 더 있습니다. 수소 방전관 실험입니다. 수소 방전관에서 나오는 빛들을 프리즘을 이용해 어떤 파장의 빛이 나오는지 측정을 했더니 백열광처럼 모든 빛이 나오는게 아니라 띄엄띄엄 선스펙트럼 형태로 검출이 되는 것을 발견한 것입니다. 이 실험을 통해 물질이 특정 파장에 해당하는 에너지만 방출할 수 있는 것이 아닌가하는 것을 추정하게 됩니다. 이후 이런 현상을 설명하기 위해 굉장히 많은 수소원자모델이 제안되었습니다.

 

 

 

 

입자와 파동의 이중성

 파동이란 매질을 통해 에너지나 운동이 전달되는 현상을 말합니다. 음파를 생각해보면 공기 입자가 직접 움직이는 것은 아니죠. 공기 입자가 진동하는 운동을 옆의 공기 입자한테 전달함으로써 소리가 이동하게 되는데 이것이 음파입니다. 이와 같이 파동은 입자가 직접 움직이는 것이 아니라 옆으로 전달하는 것입니다. 빛도 그렇고, 전자파도 똑같습니다. 하지만 빛, 전자파, 음파와 같은 파동의 성질을 갖는 것들이 입자의 성질또한 가질 수 있다는 것입니다. 특히 빛은 파동으로도 이야기를 할 수 있고, Photon이라는 입자로써도 이야기할 수가 있습니다. 이런 사실을 발견한 사람이 De Broglie라는 사람이고 물질의 입자적인 성질과 파동적인 성질의 관계를 규명해냈습니다. 이렇게 각 물질이 갖는 파동적인 성질, 즉 파장을 De Broglie 파장이라고 하며 Matter Wave라고도 합니다. 

Matter Wave(De Broglie 파장)

De Broglie 파장이라는 것은 쉽게 말해 양자역학에서 물질의 파동을 의미하는 것입니다. 이것을 계산할 수 있는 방법은 다음과 같습니다.

 

$$ \lambda = {h \over p}  = {h \over mv} $$

$$ (h : 플랑크 상수)$$

 어떤 입자가 운동량 p를 갖는다는 것은 입자적인 특징을 갖는다는 것이고, 진동수 $\nu$를 갖는다는 것은 파동적인 특성을 갖는다는 것을 의미합니다. 이식을 통해 물질이 입자와 파동의 이중성을 갖고 있다는 것을 알 수 있습니다. 위의 식에서 알 수 있는 것은 어떤 물질이던지 Matter Wave를 가지고 있다는 것입니다. 그 물질이 운동량을 가지면 운동량에 해당되는 파장을 가지고 있다는 것이기 때문에 파동이라고 생각할 수 있게 되는 것이죠.

 이런 물질의 특성은 나중에 전자의 움직임을 자세히 볼때 중요합니다. Si 내부에 존재하는 전자가 움직이는데 파동적으로 움직이기도하고, 입자적으로 움직이기도 하는 것이죠. 이런 성질을 가지고 전자의 움직임을 해석하게 됩니다.

Heigenberg의 Uncertainty Principle

 Nano Scale에서는 우리가 계산할 수 있는 물리량의 값이 얼마나 부정확하기에 물리량들을 확률적으로 생각해야 하느냐에 답을 이론으로 정리한 것이 Heigenberg의 Uncertainty Principle입니다.

 우리가 물체를 본다는 것은 무엇일까요? 물체에 의해 반사된 빛을 눈을 통해 읽어내는 것입니다. 이런 원리를 이용하여 과학자들은 전자에 빛을 쏴준 뒤 반사되는 빛을 이용하여 전자의 위치를 찾고자 하였습니다. 하지만 문제는 전자가 매우 작은 입자라는 점에서 시작됩니다.

 전자의 크기가 Photon의 크기와 거의 비슷하기 때문에 사람이 눈으로 볼 수 있는 가시광선을 쏘아주게 되면 전자의 크기보다 훨씬 큰 진폭을 갖는 파동이 반사되어 돌아오게 됩니다.

 

따라서 빛을 쏴준 뒤 반사되는 빛을 측정하는 방법으로는 전자의 위치가 정확히 어디인지 특정짓기가 힘들어 졌습니다. 그래서 사용할 수 있는 방법이 X-ray, 감마선 등과 같은 파장이 짧은 빛을 사용하는 것입니다. 하지만 이런 파장이 짧은 빛은 굉장히 큰 에너지를 갖는다는 특징이 있습니다. 감마선은 분자구조를 와해시킬 수 있을 정도의 에너지를 갖고 있으며 몸에 맞을 경우 암세포를 유발하게 됩니다. 

 이렇게 에너지가 강한 빛을 전자에 쏴주게 되면 위치는 정확하게 알 수 있을지 몰라도 다른 문제가 한 가지 생기게 됩니다. 빛의 에너지가 너무 커서 전자가 빛을 맞는 순간 전자가 튕겨져 나가게 되는 것이죠. 따라서 우리는 전자의 특징을 측정할 때 전자의 현재 위치와 현재 속도를 동시에 측정할 수가 없게 됩니다. 이를 위치와 속도를 동시에 측정하려하고 하면 하나가 변하기 때문에 정확하게 측정할 수 없다고 하여 Uncertainty Principle이라고 부릅니다.

 어떤 입자가 어느 위치에 특정 운동량을 가지고 운동하고 있다고 생각해봅시다. 그런데 이 입자의 특성을 측정하려고 입자를 들여다볼 때, 각 물성값의 오차범위를 수식으로 나타내게 되면 다음과 같습니다.

 

$$ (\Delta x)(\Delta p) \geq \hbar = {h \over 2\pi} $$

$$ (\Delta x)(\Delta t)  \geq \hbar = {h \over 2\pi} $$

$$ h = 6.62 * 10^{-34} J/s $$

 

 위의 식을 해석해보면, 위치와 운동량에 대한 Uncertainty의 곱은 $\hbar$보다 크며, 에너지와 시간에 대한 Uncertainty의 곱 또한 $\hbar$보다 크다는 것입니다. 예를들어 만약 $\Delta x$가 $\infty$로 가면 $\Delta p$는 0으로 간다는 것이죠. 즉, 하나가 $\infty$로 가면 다른 하나는 0에 수렴한다는 것입니다. 

 이것은 어떤 Particle의 위치에 대한 정보가 정확하지 않다면 운동량에 대한 정보가 갖는 Uncertainty가 작아진다는 것을 암시합니다. 또는 에너지에 대한 정확학 정보가 없다면, 시간에 대한 Uncertainty가 작아진다는 것이죠.  

Probability Density Function

 Heigenberg의 Uncertainty Priciple에 따르면 전자와 같이 매우 작은 입자들의 경우, 위치를 말할 대 정확히 어디있다고 말을 할 수 없습니다. 이것은 위치뿐 아니라, 운동량, 에너지 등 여러가지 물리량들도 해당됩니다.

 이런 Heigenberg의 Uncertainty Principle을 이해하고 나면, 우리는 물리량을 정의할 때 확률적으로 표현할 수 밖에 없다는 결론에 도달하게 됩니다. 그래서 물리량을 확률로 나타내기 위해 Probability Density Function p(x)라는 것을 도입을 하게 되는데요. Probability Density Function이란 어떤 Particle을 위치 $x$와 위치 $x+\Delta x$사이에서 발견할 확률을 의미하는 함수를 말합니다. Probability Density Function은 확률에 대한 함수이기 때문에 전구간에 대해 적분하게 되면 1이 된다는 성질을 갖게 됩니다.

 

$$ \int_{-\infty}^{\infty} p(x)dx = 1 $$ 

 

 이 때, 우리가 관측하고자 하는 물리량의 기댓값은 특정 위치에서의 물리량에 Probability Density Function을 곱한 후 전 구간에 대해 적분함으로써 구할 수가 있죠.

 

$$ <f(x)> = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)p(x)dx $$

 

 만약 전자가 한개가 아니라 여러개가 있따면, Probability Density Function을 전구간에 대해 적분한 것이 1이 아닐수도 있습니다. 1이 아니라면 나중에 그만큼 개수로 나누어 주면 되는 것입니다. 이것을 정규화라고 합니다.

 

$$ <f(x)> = {\int_{-\infty}^{\infty} f(x)p(x)dx \over \int_{-\infty}^{\infty} p(x)dx} $$

 또한 전구간에 대해 p(x)를 적분한 것이 아닌 경우에는, Probability Density Function을 전구간에 대해 적분한 것이 1보다 작아지기 때문에 위와 마찬가지로 p(x)를 적분한 것으로 나눠주면 기댓값을 구할 수가 있습니다..

 Probabilty Density Function을 이용하여 실제 전자가 위치했을 거라고 기대되는 지점을 구할 수가 있고, 이를 통해 오차를 구할 수가 있게 됩니다.

 

$$ \Delta x  = |x - <x>| $$

$$ \Delta p  = |p - <p>| $$

$$ \Delta E  = |E - <E>| $$

$$ \Delta t  = |t - <t>| $$

 

이것을 이용해서 Heigenberg의 Uncertainty Principle에 들어가는 Delta항을 구할 수가 있게됩니다.