[물리전자] 2-2. Schrodinger Equation

Schrodinger Equation

 자 그럼 이제 우리가 해야할 일은 Probability Density Function을 구하는 일입니다. Probability Density Functtion을 구하기 위한 접근방법에는 크게 Dirac의 접근방식과 Schrodinger의 접근 방법, 두가지 접근 방법이 있는데 우리는 Schrodinger Equation에 기초한 파동학적인 접근 방법을 적용하겠습니다. 

 

현실에서 전자라는 것은 입자의 성질과 파동의 성질 모두 가지고 있다는 것을 물질의 이중성을 설명하면서 다루었습니다. 그렇다면 전자가 갖는 파동적인 성질은 어떻게 구해낼 수가 있을까요? 이 때 사용하는 것이 Schrodinger Equation입니다. Schrodinger Equation을 전자에 대해 세우고, 그것을 풀어 냄으로써 전자가 파동적으로 어떻게 움직이는지 알아낼 수가 있습니다. 따라서 가장 먼저 Schrodinger Equation을 유도하는 것이 필요합니다.

 하지만 여기서는 기본적인 양자역학적 증명은 생략하고 증명된 내용만 가져다 쓰도록 하겠습니다.  우리가 사용할 내용은 총 5가지 입니다.

 

1. 어떤 Particle의 운동은 Wave Function $\Psi$에 의해 설명된다.

 모든 입자에 대한 Wave Function $\Psi$는 위치와 시간의 함수이기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$Wave Function : \Psi(r,t) = \Psi(x,y,z,t) ··· (3차원)$$

$$Wave Function : \Psi(r,t) = \Psi(x,t)  ··· (1차원)$$

 

2. $\Psi$의 미분은 유한한 값을 갖고, 연속함수이다.

 $\Psi$의 미분이 값을 갖는다는 것은 미분이 가능하다는 것을 뜻합니다. 따라서 $\Psi(r,t)$이 연속이고, 유한한 값을 갖는다는 조건까지 총 4가지 의미를 포함합니다. 정리해보면 다음과 같습니다. 

 

- $\Psi$는 연속이며 미분가능하다.

- ${d\Psi \over dt}$는 연속이며 유한한 값을 갖는다.

 

하지만 이 조건으로 2차미분이 될지 안될지는 알 수 없습니다.

 

3. 고전역학에서 사용하던 물리량은 양자역학에서 사용하기 위해선 Quantum Mechanical Operator로 변환해야 한다.

	고전역학의 관측 변수	Quantum Mechanical Operator
위치	x	x
위치의 함수	f(x)	f(x)
운동량	p(x)	${\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$
에너지	E	$-{\hbar \over i}{\partial \over \partial t}$

4. 작은 체적에서 Particle을 발견할 확률은 $ \Psi\Psi^* d\vec{r} $ 이다.

   (단, $\int_{-\infty}^{\infty} \Psi\Psi^* dv = 1$)

 

5. 관측하고자 하는 변수의 기대값은 다음과 같이 계산된다.

    $<f(x)> = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi f(x)^{op}\Psi^* dxdtdz$ 

 

 여기서 우리가 해야하는 것은 Wave Function \Psi를 찾아내야 하는 것이죠. 그리고 그것을 이용해서 관측치의 기댓값을 구하는 것입니다. 

Wave Function \Psi는 Schrodinger Equation을 풀어냄으로써 찾을 수 있는데 그러려먼 먼저 Schrodinger Equation을 알아야 겠죠.

 Schrodinger Equation은 그냥 에너지 보존법칙을 이용한 식입니다. 고전역학에서 우리가 배운 에너지 보존식을 양자역학적으로 바꾸어 준 것이에요. 고전역학에서 어떤 Particle이 갖는 에너지는 Kinetic Energy와 Potential Energy의 합이었죠.

 

$$ Total Energy = Kinetic Energy + Potential Energy  = V + {p^2 \over 2m}$$

 

양자역학에서는 에너지라는 물리량을 Quantum Mechanical Operator를 이용해 바꾸어주고 기댓값을 구해야 합니다.

 

$$ <E> = <{p^2 \over 2m}> + <V> $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \Psi i \hbar \Psi^* d\vec{r} = {1\over 2m} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* {{\left({\hbar \over i}\right)}^2{\partial^2 \over \partial x^2}} \Psi d\vec{r} + \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* V \Psi d\vec{r} \\  = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* \left[ - {h^2 \over 2m}{\partial \over \partial x^2} + V \right] \Psi d\vec{r} $$

 

 

이것을 정리하게 되면 다음과 같습니다.

 

$$ - {\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2} \Psi + V \Psi = -{\hbar \over i } {\partial \over \partial t} \Psi$$

 

 이런 형태의 Schrodinger Equation을 Time Dependance Schrodinger Equation이라고 합니다. 시간에 대한 의존성이 있는 슈뢰딩거 방정식이죠. 이것을 3차원으로 확장시키게 되면 다음과 같습니다.

 

$$\left( - {\hbar^2 \over 2m}{\nabla^2} + V\right) \Psi = -{\hbar \over i} {\partial \over \partial t} \Psi$$

 

 이 식으로 부터 Wave Function $\Psi$를 구하는 것이 저희의 목표였습니다. $\Psi$를 구하면 Probability Density Function을 구할 수 있기 때문입니다.

 Equation의 모양을 보면 2nd Order Partial Differential Equation이네요. 이것을 풀기 위해 $\Psi$가 시간과 위치의 함수의 곱으로 분리될 수 있다고 가정을 해봅시다,

 

$$ \Psi = \phi(t) \psi(x) $$

 

이것을 이용해 다음과 같은 식으로 변형시킬 수가 있습니다. 

 

$$ - {\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi(x) \over \partial x^2} \phi(t) + V \phi(t)\psi(x)  = -{\hbar \over i} \psi(x){\partial \phi(t) \over \partial t} $$

 

여기서 양변에 $\phi(t)\psi(x)$를 나누어주면 다음과 같습니다.

 

$$ - {\hbar^2 \over 2m}{1 \over \psi(x)}{\partial^2 \psi(x) \over \partial x^2} + V = -{\hbar \over i} {1 \over \phi(t)}{\partial \phi(t) \over \partial t} $$

 

 위의 식에서 보면 좌변은 위치만의 함수이고 우변은 t만의 함수입니다. 양변이 항상 같다면 이 둘은 상수일 수 밖에 없는 것이죠. 이것을 C라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

$$ -{\hbar \over i}{1 \over \phi(t)}{d\phi(t) \over dt} = \eta $$

 

이것을 정리해봅시다. 

 

$$ {1 \over \phi(t)}{\partial\phi(t)} = -{i \over \hbar} \eta \partial t$$

 

 이것은 시간에 대한 1st Order Ordinary Differential Equation이니 해를 다음과 같이 쉽게 구할 수 있습니다. 위의 식을 적분해 봅시다.

 

$$ ln(\phi(t)) = -{j\eta \over \hbar}t  + C$$

 

이것을 $\phi(t)$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

 

$$ \phi(t) = \phi_0e^{-i {\eta \over \hbar}t }$$ 

 

이 때 우리가 익숙한 식의 형태를 만들어주기 위해 $w = {\eta \over \hbar}$를 대입해봅시다.

 

$$ \phi(t) = \phi_0e^{-iwt} $$

 

 이 때 $\eta$에 관해 조금만 더 살펴봅시다. 아까 우리가 각주파수 w를 이용하여 식을 표현하기 위해  다음과 같은 수식을 이용해 치환해 주었습니다. 그 식을 $\eta$에 대해 정리해주면 다음과 같습니다.

 

$$ \eta = \hbar w $$

 

 여기서 w는 원운동을 하는 각주파수를 의미하기 때문에 $w = 2\pi\nu$가 성립하게 됩니다. 이것을 위의 식에 대입해 주겠습니다.

 

$$ \eta = \hbar 2\pi\nu = {h \over 2\pi} 2\pi\nu = h\nu = E$$

 

따라서 $\eta$는 광자의 에너지와 같은 값을 의미한다는 사실을 유도해 낼 수 있습니다.

 

이제 거리 x에 대한 Schrodinger Equation을 풀어봅시다. 방금 유도한대로 $\eta$를 E로 표현하고 좌변의 항을 다시 쓰게 되면 다음과 같습니다.

 

$$ -{\hbar^2 \over 2m}{1 \over \psi(x)}{d^2\psi(x) \over dx^2} + V(x) = E $$

 

식의 양변에 $-{2m \over \hbar^2}\psi(x)$를 곱해주면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$ {d^2\psi(x) \over dx^2} + {2m \over \hbar^2}\left({E - V(x)}\right)\psi(x) =0 $$

 

이것을 Time Independance Schrodinger Equation이라고 합니다. System이 시간에 의해 변하지 않을 때에는 이것을 사용하여 Wave Function $\Psi$를 찾아내게 됩니다. 일반적으로 반도체에서는 System이 시간에 의해 변하지 않기 때문에 이것을 이용해 전자의 거동을 계산하면 됩니다.

 

물리적 의미

 Wave Function을 구했으니 이 식의 물리적 의미를 살펴봅시다. 사실 Wave Function은 3차원에서 생각해야 하지만 반도체에서는 주로 x축 방향으로만 생각해주기 때문에 Wave Function이 x와 t의 함수라고 생각합시다. 그러면 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

$$ \Psi(x,t) = \psi(x)\phi(t) = \psi(x) e^{-i{E \over \hbar}t} = \psi(x)e^{-iwt}$$

 

 여기서 Time Independance Schrodinger Equation을 통해 $\psi(x)$를 구하게 되면 [x, x+dx]에서 전자가 발견될 확률을 다음과 같이 구할 수가 있습니다.

 

$$ 확률 = |\Psi(x,t)|^2 $$

 

 즉 어떤 공간에서 어떤 입자의 Wave Function을 구했다면 그 크기의 제곱을 했을 때 미소 구간에서 입자가 발견될 확률을 의미하게 됩니다. 이것을 구해보면 다음과 같습니다.

 

$$ |\Psi(x,t)|^2 = \Psi(x,t)\Psi(x,t)^*  = \psi(x)e^{-iwt} \psi(x)^*\left({e^{-iwt}}\right)^*$$

 

이 때  $e^{-iwt} * \left({e^{-iwt}}\right)^* = 1$이므로 다음과 같은 식이 성립하게 됩니다.

 

$$ |\Psi(x,t)|^2 = \psi(x)\psi(x)^* = |\psi(x)|^2 $$ 

 

 이것은 어떤 지점에서 입자가 발견될 확률은 시간에 따라서 불변한다는 것을 의미합니다. 확률이 위치 x에 대한 함수이기 때문입니다. 즉, 어떤 지점에서 입자가 발견될 확률은 위치에 의해서만 결정된다라는 것입니다. 이것은 $\psi(x)$만 구하면 전자가 발견될 확률을 구할 수 있다는 것과 같은 의미입니다.

 따라서 구간 [A, B]에서 전자가 발견될 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

구간 [A,B]에서 전자가 발견될 확률 : $\int^{A}_{B} |\psi(x)|^2 dx $

 

다음 포스팅에서는 이렇게 유도한 Schrodinger Equation을 이용하여 실제 입자의 거동을 계산해보도록 하겠습니다.

 

 

 지난 포스팅에서 양자역학적 개념들에 대해서 배우고 Schrodinger Equation을 유도하였습니다.

 

Schrodinger Equation : $ -{\hbar \over 2m}{d^2 \over dx^2}\psi(x) + (V(x) - E)\psi(x) =  0 $

 

이번 포스팅에서는 Schrodinger Equation을 이용하여 실제 전자가 어떻게 거동하는지 알아봅시다.

 

경계조건

Schrodinger Equation은 기본적으로 미분방정식이기 때문에 풀기 위해선 경계조건이 필요합니다. 경계조건은 지난 포스팅에서 언급한 대로 다음과 같습니다.

 

1. $\psi(x)$는 연속이며 미분 가능하다.

2. ${d \over dx}\psi(x)$는 유한한 값을 가지며 연속이다.

 

이 4가지 조건을 경계조건으로 활용하게 되면 대부분의 상황에서 Schrodinger Equation을 풀어낼 수 있습니다. 이를 활용하여 자유공간, 무한전위우물(Infinite Potenital Well), 전위계단(Potential Step), 유한전위우물(Finite Potential Well)에서 Schorodinger Equation을 풀어냄으로써 각 상황에서의 전자 운동을 이론적으로 밝혀낼 것입니다.