[반도체 소자] MOS 구조의 Electric Field

 지난 포스팅에서 우리는 MOS 구조에서 SI의 Doping 농도에 따라 에너지 밴드 다이어그램이 어떻게 변하는지 그리고 Gate에 가해주는 전압에 따라 에너지 밴드가 어떻게 변하는지에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅에서는 4가지 계면 상태(Depletion ,Accumulation, Flat Band, Inversion)에서 Depletion과 Inversion 상태일 때, Electric Field가 어떻게 형성되는지 알아보고자 합니다. Flat Band와 Accumulation 상태에 대해 다루지 않는 이유는 Gate에 음의 전압을 걸어 Flat Band나 Accumulation 상태가 형성되어도 전기장이 생성되지 않기 때문입니다. 그 이유에 대해서는 이번 포스팅에서 함께 공부해가다보면 알게 되실 겁니다. 

 

우리가 다루고 있는 MOS 구조를 다시 한번 그려봅시다.

Figure 1. MOS 구조와 에너지 밴드 다이어그램

 위의 에너지 밴드 다이어그램에 대해 간단하게 설명하고 넘어갑시다.

지난 포스팅에서 언급했듯이, 앞으로 공부를 할 때 우리는 p type Semiconductor를 기준으로 공부할 것입니다. 이 때 Metal - Oxide - Semiconductor를 접합시켰을 때 Depletion 상태가 형성될 정도로 Si가 Doping되었다고 가정합시다.

 이러한 MOS 구조에서 Gate Oxide의 두께는 $T_{ox}$이고, 형성된 Depletion Region의 두께는 W입니다. 여기서 $T_{ox}$와 W의 값은 우리가 얼마나 Si를 많이 산화시키느냐에 따라서 그리고 Si에 Doping을 얼마나 해주느냐에 따라 변하는 값입니다.

 

여기까지는 우리가 이미 한번 공부했던 내용입니다. 이제부터는 계면의 상태가 변함에 따라 Electric Field가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.

 

Gate에 가하는 전압에 따라 발생하는 Electric Field

Depletion(약한 전압)

 우리가 사용한 Semiconductor는 p type Semiconductor이기 때문에 Diamond Lattice에 군데군데 3족 원자인 B가 박혀있을 것입니다. T=300K에서 B는 이온화가 되면서 정공을 내놓고 자기자신은 음이온이 됩니다. 이 때 $cm^3$당 음이온의 양은 우리가 Doping을 해준 양만큼 있을 것입니다. 여기서 우리가 Doping해준 B의 양을 $N_A #/cm^3$이라고 합시다. 

 이런 상태의 MOS 구조와 에너지 밴드 다이어그램을 그려보면 다음과 같습니다. 

Figure 2. Depletion 상태의 MOS 구조와 에너지 밴드 다이어그램

 그림에서 주목해야할 부분은 Depletion Region과 Neutral Region입니다. Neutral Region은 말그대로 중성 영역인데요. B 음이온과 정공이 함께 존재하지만 서로의 전하가 상쇄되어 중성을 이루게 됩니다. 

 반면 Depletion Region은 Neutral Region과 다르게  B가 음이온이 되면서 내놓은 정공들이 모두 사라져버린 상태입니다. 정공이 공핍되었다(=없어졌다)라고 해서 한국어로는 공핍영억, 영어로는 Depletion Region이라고 부릅니다. 즉 Depletion Region에는 B 음이온만 남아있게 됩니다.

 그렇다면 B가 음이온이 되면서 내놓은 정공은 다 어디로 갔을까요? 위의 그림을 눈여겨 보셨으면 아시겠지만 Metal과 Gate Oxide의 계면에 모이게 되며 Sheet Charge로 존재하게 됩니다. 이렇게 Sheet Charge가 형성되는 이유는 전자기학에서 학습하였습니다. Metal과 Oxide 내에는 전하가 존재할 수 없기 때문에 전하가 표면으로 나오기 때문입니다. 

 Gate Oxide를 중심으로 Metal과의 계면에는 (+)전하를 갖는 정공이 Sheet Charge를 이루면서 형성되어 있고 Si와의 계면에는 (-)전하를 갖는 B 음이온이 축적되어 있기 때문에 가우스의 법칙이 성립됩니다. 따라서 가우스의 법칙에 따라 Oxide 위아래에 형성된 정공과 음이온의 총량은 같게 됩니다. 

 또한 이 때 Gate Oxide와 Metal의 계면에 쌓인 정공과 Depletion Region에 있는 음이온 때문에 Metal에서 Si로 Electric Flux가 생기게 됩니다. 즉 Metal에서 Si 방향으로 전기장이 형성됩니다. 이 전기장은 우리가 외부에서 인가해 준 것이 아니라 MOS 구조에서 각 층이 접합되었을 때 Thermal Equilibrium을 이루면서 자발적으로 만들어진 전기장임을 알고 넘어갑시다.

 

Charge Density

Figure 3. 위치에 따른 Charge Density

 이제 MOS구조에서 Charge Density가 얼마인지 그리고 형성되는 전기장의 크기는 얼마인지 수학적으로 살펴봅시다. 먼저 Metal과 Oxide 내부에는 전하가 존재할 수 없기 때문에 Metal과 Oxide 내부의 Charge Density는 0이 됩니다. 하지만 그 계면에는 정공이 Sheet Charge로 존재하기 때문에 $x = -T_{ox}$일 때 $\delta$함수의 형태로 Charge Density가 급격하게 증가할 것입니다.

  더 아래로 내려와서 Depletion Region과 Neutral Region을 봅시다. Depletion Region과 Neutral Region에서 단위부피당 전하는 Si 기판을 Doping한 농도만큼 존재할 것입니다. 하지만 Depletion Region과 Neutral Region의 가장 큰 차이점은 Depletion Region에서는 B 음이온만 존재하고 Neutral Region에서는 B 음이온과 정공이 함께 존재한다는 점입니다. 따라서 Neutral Region에서는 B 음이온의 (-) 전하와 정공의 (+) 전하가 상쇄되어 Charge Density는 0이 되며 Depletion Region에서는 Charge Density가 Doping 해준 농도가 됨을 알 수 있습니다.

 바로 위에서 Si를 $N_A #/cm^3$만큼 도핑해주었다고 했기 때문에 Depletion Region에서 Charge Density는 $-qN_A$가 됩니다. 또한 가우스의 법칙에 의해 Depletion 영역의 전하의 합과 Metal과 Oxide의 계면에 쌓인 정공이 가진 전하의 합은 같아야하기 때문에 Metal과 Oxide의 계면에서 Charge Density는 $qN_AW\delta(x + T_{ox})$가 됩니다.

 이것을 위치와 Charge Density의 그래프로 그려보면 Fig. 3과 같이 그려지게 됩니다.

 

Electric Field

 이제 Depletion 상태에서 MOS 구조 내에 생기는 전기장에 대해서 알아봅시다. 전기장이 생기려면 구조 내에 (+)전하와 (-) 전하가 있어야 합니다. MOS구조 내에 (+)전하가 모여있는 곳과 (-)전하가 모여있는 곳이 존재하죠. 바로 Metal과 Oxide의 계면과 Depletion Region입니다. 이것 때문에 (+)전하가 모여있는 Metal과 Oxide의 계면에서 (-)전하가 모여있는 Depletion Region 쪽으로 전기장이 형성되게 됩니다. 

 

 이 때 전기장의 세기를 구해봅시다. 물론 전하량이 많으면 많을수록 전기장의 세기가 강해질 것이고 이것을 수학적으로 표현해보겠습니다. 

 전자기학에서 우리가 전기장의 세기를 $\mathcal{E}$로 표시했을 때 가우스 법칙을 미분형으로 표현하면 전기장의 세기와 Charge Density의 관계식을 얻을 수 있습니다.

$$\nabla{\cdot}D = \rho  (3차원)$$

$${\epsilon}{d{\mathcal{E}} \over dx} = \rho (1차원)$$

 

 위 식으로부터 Electric Field를 구하려면 Charge Density를 적분해야 한다는 것을 알 수 있습니다.

$$\mathcal{E} = {1 \over \epsilon}\int{\rho dx} $$

 

 Charge Density를 적분해 위치와 전기장의 세기에 대한 그래프를 그리게 되면 다음과 같습니다. 

Figure 4. 위치에 따른 전기장의 세기

그래프를 보면 전계의 세기가 Metal쪽이 높죠. 즉 Metal에서 Si 쪽으로 전계가 향하고 있습니다.

 

Depletion(강한 전압)

 Depletion 상태에서 Gate에 양의 전압을 더욱 걸게되면 Metal 쪽의 Fermi Level을 끌고 내려가게 되며 아것은 상대적으로 Si의 Fermi Level을 끌고 올라가는 것과 같은 효과라고 했습니다. Si의 Fermi Level이 올라가면서 밴드가 더욱 심하게 아래로 굽게 됩니다.

Figure 5. Depletion의 폭이 최대일 때 MOS 구조와 에너지 밴드 다이어그램

Charge Density & Electric Field

 밴드가 더욱 굽는다는 것은 Depletion이 더욱 심하게 된다는 뜻이죠. 그렇게 되면 Depletion Region의 폭이 더 길어질 것입니다. 폭이 더 넓어지면서 Depletion Region 내의 B 음이온이 늘어나며 B가 음이온화되면서 나온 정공이 Metal과 Oxide의 계면으로 움직이기 떄문에 계면에서 정공의 수 또한 늘어날 것입니다. 이것에 대한 Charge Density와 전기장의 세기에 대한 그래프를 그려보면 아래와 같이 그려지게 됩니다.

Figure 6. Figure 5. Depletion의 폭이 최대일 때 위치에 따른 Charge Density와 전기장의 세기

 

Inversion

 Depletion 상태에서 Gate에 점점 더 강한 양의 전압을 가해봅시다. Depletion Region의 폭이 점점 증가하다가 결국 Intrinsic Level이 Fermi Level을 넘어가는 순간 Inversion이 일어나게 됩니다. 즉 계면에서의 전자의 농도가 정공의 농도보다 많은 상태가 되며 Si와 Oxide의 계면에 전자가 생기기 시작합니다. 이 상태를 Weak Inversion이라고 합니다. 

 Inversion이 시작되면 Depletion Region의 폭은 더이상 늘어나지 않고 가우스의 법칙에 따라 (-)전하를 늘리기 위해 전자가 늘어나게 됩니다. 이것을 그림으로 그려보면 다음과 같습니다.

Figure 7. Weak Inversion 상태에서 MOS 구조와 에너지 밴드 다이어그램

 

Charge Density

  Inversion 상태가 Depletion 상태와 비교했을 때 갖는 차이점은 Oxide와 Si의 계면에 전자가 생긴다는 점입니다. 따라서 이것을 수학적으로 표현하게 되면 x=0에서 전자가 갑자기 급격하게 늘어나기 때문에 Metal과 Oxide 계면에서의 정공처럼 $\delta$함수의 형태로 표현할 수 있습니다. 이것을 그래프로 그리게 되면 다음과 같습니다.

 

Electric Field

 이 때의 Electric Field를 그림을 그리게 되면 x=0에서 (-) 전하에 대한 $\delta$함수가 추가되었기 때문에 뚝 떨어지는형태의 그래프가 형성됩니다.

 

 이후 Gate 전압을 양의 방향으로 더 강하게 걸었다고 한다면 Oxide와 Si사이에 생기는 전자가 더욱 많아질 것이고 x=0에서 delta function의 크기가 더욱 커질 것입니다. 즉 Inversion Charge의 양이 늘어나겠죠. 동시에 Metal과 Oxide 계면의 정공도 늘어날 것입니다. 하지만 Depletion Region의 음이온들은 늘어나지 않습니다. 즉 가우스 법칙을 만족시키기 위해 더이상 Depletion Region의 폭을 늘리는 것이 아닌 (-)전하인 전자를 끌고오게 되는 것이죠.

 그래서 Oxide와 Si의 계면에 생기는 전자의 양이 기판에서의 정공의 농도와 같아지는 지점을 우리가 특별히 Strong Inversion이라고 하며 그 순간을 Channel이 형성되었다라고 합니다. 다른 말로 Threshold를 넘었다라고도 합니다. Threshold에 대해서는 후에 자세하게 다루도록 하겠습니다.

 

다음 포스팅에서는 MOS 계면의 Surface Charge에 대해서 알아보겠습니다. 

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